分散・標準偏差と偏差値
学習目標
- 分散と標準偏差の意味を、偏差の2乗の平均と平方根で説明できる。
- 偏差値の式を使い、得点から偏差値を求められる。
| 学習の作業 | 時間の目安 |
|---|---|
| 読む（分散、標準偏差） | 15分 |
| 読む（偏差値） | 10分 |
| 例を追う（分散の計算） | 10分 |
| 自力演習（段階別の練習） | 20分 |
| 振り返り | 5分 |
1. 分散と標準偏差
データの散らばりを表す量として、分散と標準偏差があります。分散は、各データの値と平均の差（偏差）の2乗の平均です。標準偏差は分散の正の平方根です。
2. 偏差値
成績などで使われる偏差値は、次の式で求めます。得点と平均点が同じなら偏差値は 50、平均より標準偏差だけ高いと 60 になります。
偏差値 = 50 + (得点 − 平均点) ÷ 標準偏差 × 10
例題: 分散と標準偏差の計算
データ 2, 4, 6 の平均は 4。偏差は −2, 0, 2、その2乗は 4, 0, 4。分散は (4+0+4) ÷ 3 = 8/3 ≒ 2.67。標準偏差は √(8/3) ≒ 1.63。
段階別の練習
易（基本の確認）
- 標準偏差は分散の何か。
答えと解き方
正の平方根。 - 得点が平均点と同じとき、偏差値はいくつか。
答えと解き方
50。
標準（手順を組み合わせる）
- データ 1, 3, 5 の平均を求めなさい。
答えと解き方
3。 - 平均から標準偏差だけ高い得点の偏差値はいくつか。
答えと解き方
60（50 + 1 × 10）。
共通テスト形式（読み取りと判断）
- 平均点 60、標準偏差 10 のテストで 70 点の偏差値は。
答えと解き方
50 + (70 − 60) ÷ 10 × 10 = 60。 - 標準偏差が小さいデータと大きいデータで、同じ平均でも見方がどう違うか。
答えと解き方
小さい方は平均の近くに集まり、大きい方は散らばりが大きい。
振り返り
- 分散が「偏差の2乗」の平均であることを、式で説明できましたか。
- 偏差値の式の各部分の意味を説明できましたか。