クロス集計と独立性の検定
範囲外の発展教材
独立性の検定は共通テスト情報Iの出題対象外です。
独立性の検定は共通テスト情報Iの出題対象外です。
学習目標
- 2つの項目をクロス集計表にまとめ、期待度数を計算できる。
- カイ二乗値と自由度を求め、独立性の検定の結果を読み取れる。
| 学習の作業 | 時間の目安 |
|---|---|
| 読む（クロス集計と期待度数） | 15分 |
| 例を追う（カイ二乗値と自由度） | 20分 |
| 自力演習（判断と説明） | 10分 |
| 振り返り | 5分 |
1. クロス集計表で2項目を比べる
クロス集計は、2つの項目の組み合わせごとに人数などを集計する方法です。たとえば、学年とアンケート回答の関係を表にすると、各学年で回答の割合が違うかを調べやすくなります。
次の表は、学習会に参加したかどうかと確認テストの合否を、独自の例として集計したものです。
| 学習会 | 合格 | 不合格 | 計 |
|---|---|---|---|
| 参加 | 60 | 40 | 100 |
| 不参加 | 40 | 60 | 100 |
| 計 | 100 | 100 | 200 |
2. 期待度数を計算する
2項目に関係がない（独立である）と仮定したとき、各マスに期待される人数を期待度数といいます。
期待度数
行の合計 × 列の合計 ÷ 全体の合計
参加・合格の期待度数は 100 × 100 ÷ 200 = 50 人。残りの3マスも同じ計算で50人になる。
| 学習会 | 合格 | 不合格 | 計 |
|---|---|---|---|
| 参加 | 50 | 50 | 100 |
| 不参加 | 50 | 50 | 100 |
| 計 | 100 | 100 | 200 |
3. カイ二乗値でずれを測る
実測度数と期待度数のずれをまとめた値をカイ二乗値 χ² といいます。
カイ二乗値
χ² = Σ（実測度数 − 期待度数）² ÷ 期待度数
この例では、4マスのずれがそれぞれ10人なので、χ² = 10²/50 + 10²/50 + (−10)²/50 + (−10)²/50 = 8。
自由度は（行数−1）×（列数−1）です。この表は行2・列2なので自由度は1。5%水準の臨界値3.841と比べると、8 > 3.841 です。したがって「学習会参加と合否は独立である」という仮説を5%水準で棄却でき、2項目に統計的な関連があると判断できます。
読み取りの注意
統計的な関連が見つかっても、一方が他方の原因だとは限りません。調査方法や他の要因も考えます。また、検定結果は標本の取り方や人数にも左右されます。
統計的な関連が見つかっても、一方が他方の原因だとは限りません。調査方法や他の要因も考えます。また、検定結果は標本の取り方や人数にも左右されます。
練習
- 行の合計80、列の合計50、全体の合計200のとき、そのマスの期待度数はいくつか。
答えと解き方
80 × 50 ÷ 200 = 20。 - 行3・列2のクロス集計表の自由度はいくつか。
答えと解き方
(3−1)×(2−1)=2。 - カイ二乗値が臨界値より小さいとき、「2項目に関連がある」と結論できるか。
答えと解き方
できない。帰無仮説を棄却するだけの証拠が得られていない、と判断する。
振り返り
- 期待度数を周辺度数から計算できましたか。
- 統計的な関連と因果関係を区別できましたか。