範囲外（発展）45分

区間推定

範囲外の発展教材
区間推定は共通テスト情報Iの出題対象外です。

学習目標

1. 標本から母集団を推定する

母集団全体を調べる代わりに、無作為に選んだ一部（標本）を調べ、その平均値から母集団の平均（母平均）を推定することがあります。標本平均だけでなく、誤差を見込んだ幅で示す方法が区間推定です。

母分散 σ² が既知で、標本数 n が十分大きいとき、母平均 μ の95%信頼区間は次の式で求めます。

95%信頼区間（母分散既知）

標本平均 x̄ ± 1.96 × σ / √n

σ は母標準偏差。σ / √n は標本平均の標準誤差です。

標本平均の周りに標準誤差の幅をとり、母平均の範囲を推定する。

ある商品の重さを無作為に100個調べ、標本平均が68 g、母分散が100 g²と分かっているとします。母標準偏差は √100 = 10 g です。

「95%」の意味
同じ条件で標本抽出と区間の計算を何度も繰り返すと、その方法で作った区間の約95%が母平均を含む、という意味です。今回計算した1つの区間に母平均が入る確率が95%という意味ではありません。

母分散が分からないとき

母分散の代わりに標本から求めた不偏分散を使い、t分布の値を用います。標本数によって使う値が変わるため、ここでは母分散が既知の場合に絞りました。

標本数 n を4倍にすると、標準誤差 σ/√n は何倍になるか。
答えと解き方
1/2倍。√n が2倍になるため、分母が2倍になる。
母分散25、標本数100、標本平均42のとき、95%信頼区間を求めなさい。
答えと解き方
σ=5、標準誤差=5/10=0.5。誤差幅は1.96×0.5=0.98なので、41.02以上42.98以下。
同じ標本数・母分散で信頼度を99%にすると、95%の場合より区間の幅はどうなるか。
答えと解き方
広くなる。母平均を含む割合を高くするため、より大きな誤差幅をとる。